<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Stima Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
Sumrio

Stima Parte

Unidade 9 -- Inequaes
Captulo 22- Inequaes 
  do 1 grau ::::::::::::: 746
Inequaes ::::::::::::::: 747
Representao na reta :::: 757
Inequao do 1 grau :::: 757 
Representao geomtrica 
  das solues :::::::::::: 758
Sistemas de inequaes ::: 767
Resoluo do sistema de 
  inequaes :::::::::::::: 767

Unidade 10 -- 
  Circunferncia, arcos 
  e ngulos
 Captulo 23- 
  Circunferncia e 
  crculo ::::::::::::::::: 784 
Distncia entre dois 
  pontos :::::::::::::::::: 784
Circunferncia ::::::::::: 786
 Corda :::::::::::::::::::: 788
Dimetro ::::::::::::::::: 788
<p>
Posio de ponto e 
  circunferncia :::::::::: 788
Crculo :::::::::::::::::: 790
Partes do crculo :::::::: 791
Setor circular ::::::::::: 791
Segmento circular :::::::: 792
Semicrculo :::::::::::::: 792
Captulo 24- Posies 
  relativas de reta e 
  circunferncia :::::::::: 797
Distncia de ponto a 
  reta :::::::::::::::::::: 797
Posies de reta e 
  circunferncia :::::::::: 802
Reta e circunferncia 
  secantes :::::::::::::::: 802
Reta e circunferncia 
  tangentes ::::::::::::::: 804
Reta e circunferncia 
  externas :::::::::::::::: 806
Captulo 25- Posies 
  relativas de duas 
  circunferncias ::::::::: 812
Circunferncias 
  tangentes ::::::::::::::: 812
Circunferncias 
  externas :::::::::::::::: 815
<p>          
                            III
Circunferncia interna a 
  outra circunferncia :::: 815
Caso particular: 
  circunferncias 
  concntricas :::::::::::: 816
Circunferncias 
  secantes :::::::::::::::: 817
Captulo 26- Segmentos 
  tangentes ::::::::::::::: 823
Propriedades ::::::::::::: 824
Circunferncia inscrita em 
  tringulo ::::::::::::::: 825
Quadrilteros 
  circunscritveis :::::::: 830
Propriedade :::::::::::::: 831
Captulo 27- Arcos de 
  circunferncia :::::::::: 837
Semicircunferncia ::::::: 838
ngulo central ::::::::::: 839
Arcos congruentes :::::::: 839
Medida de um arco :::::::: 840
Medida do arco maior ::::: 842
Captulo 28- ngulos 
  inscritos em 
  circunferncias ::::::::: 845
Medida do ngulo 
  inscrito :::::::::::::::: 846
<p>
ngulo inscrito numa 
  semicircunferncia :::::: 853
Propriedade :::::::::::::: 853
ngulos excntricos :::::: 856
ngulo excntrico 
  interior :::::::::::::::: 856  
ngulo excntrico 
  exterior :::::::::::::::: 857
Captulo 29- 
  Quadrilteros  
  inscritveis :::::::::::: 864
Quadriltero inscrito em 
  circunferncia :::::::::: 864
Propriedade :::::::::::::: 865
Captulo 30- Arco 
  capaz ::::::::::::::::::: 869
O que  arco capaz? :::::: 869
<F->
<287>
<T mat. realidade 8>
<t+745>
Unidade 9 -- Inequaes
 
Captulo:
22- Inequaes do 1 grau 

<R+>
Unidade 10 -- Circunferncia, arcos e ngulos 

<F->
Captulos:
23- Circunferncia e crculo 
24- Posies relativas de reta e circunferncia 
25- Posies relativas de duas circunferncias 
26- Segmentos tangentes 
27- Arcos de circunferncia
28- ngulos inscritos em 
  circunferncias
29- Quadrilteros inscritveis
30- Arco capaz
<F+>
<R->
<288>
<p>
Captulo 22- Inequaes do 
  1 grau 

A conta do celular 

  Observe os anncios a seguir: 

Telebom 

  *Promoo*: Taxa mensal de R$36,00 mais R$0,25 por minuto de ligao efetuada.
   
Telestar 

  *Imperdvel*: Taxa fixa mensal de R$42,50. E mais R$0,20 por minuto de ligao efetuada.
 
  Duas companhias telefnicas oferecem celulares anunciando como sero cobradas as contas mensais. 
  Qual dessas companhias oferece mais vantagens para o consumidor? 
<p>
  A resposta vai depender do tempo de utilizao da linha telefnica. 
  Vamos estabelecer que *x*  o tempo em minutos das ligaes efetuadas em certo ms e representa um nmero positivo ou nulo. 
  A conta mensal em reais a ser paga  Telebom ser: 
 `(36+0,25x`) 
  E a cobrana da Telestar, em reais, ser: 
 `(42,50+0,20x`) 
  O plano da Telebom ser mais vantajoso para o consumidor se: 
 36+0,25x<42,50+0,20x 
  Precisamos, ento, resolver uma inequao. 
<289>

Inequaes 

  Vamos recordar o que j estudamos no 7 ano. 
<R+>
<F->
 Uma sentena matemtica que contm incgnita  chamada: 
-- Equao, se for expressa por uma igualdade `(=`).
<p>
-- Inequao, se for expressa por uma desigualdade `(<, >, <=, >=`). 
 Soluo da equao ou da inequao  um nmero que, colocado no lugar da incgnita, torna a sentena verdadeira. 
 Resolver uma equao ou uma inequao significa determinar suas solues. 
 Para resolver uma equao ou uma inequao, podemos aplicar as operaes elementares: 
-- Adicionar um mesmo nmero aos dois membros. 
-- Multiplicar os dois membros por um mesmo nmero, diferente de zero. 
<F+>
<R->
  No caso das inequaes, se multiplicamos os dois membros por um nmero negativo, ento devemos inverter o sentido da desigualdade: < (menor que) vira > (maior que) e > (maior que) vira < (menor que). 
<p>
  Observe no quadro um exemplo de aplicao de operaes elementares na desigualdade 10>5: 

<R+>
_`[{quadro verde com o seguinte contedo_`]
 10>5
 somando 2 :> 12>7;
 somando `(-2`) :> 8>3;
 multiplicando por 2 :> 20o10;
 multiplicando por `(-2`) 
  :> -20-10; o (maior que) virou  (menor que). 
<R->

  Vamos resolver a inequao do problema das contas dos celulares: 
 36+0,25x<42,50+0,20x 
<R+>
 1 passo: Deixamos os termos com incgnita no primeiro membro: 
<R->
 36+0,25x-0,20x<42,50+
  +0,20x-0,20x 
  Deixamos os termos sem incgnita no segundo membro: 
 36+0,25x-0,20x-36<42,50-36 
 0,05x<6,50 
<R+>
<p>
 2 passo: Multiplicamos por 100 (100>0 :> conservamos o sentido da desigualdade): 
<R->
 1000,05x<1006,50
 5x<650 
<R+>
 3 passo: Multiplicamos por 1~5 (1~5>0 :> conservamos o sentido da desigualdade): 
<R->
 1~5.5x<1~5.#fej 
 x<130 
  As solues da inequao so os nmeros reais menores que 130. 
<290>
  No problema proposto no incio do captulo, isso significa que a 
Cia. Telebom ser vantajosa para o consumidor se ele utilizar o telefone durante um tempo menor que 130 minutos por ms para fazer ligaes. 
  Para quem usa o telefone para fazer ligaes por mais de 130 minutos por ms, a operadora mais vantajosa  a Cia. Telestar. Veja: 
<p>
 Conta da Telestar < Conta da 
  Telebom 
 42,50+0,20x<36,00+0,25x 
 0,20x-0,25x<36,00-42,50
 -0,05x<-6,50 
  Multiplicando-se por -100 e invertendo-se a desigualdade: 
 5x>650
 x>650~5
 x>130
  Portanto, cada consumidor deve avaliar sua necessidade e escolher a melhor opo para si. 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Ao chegar em Porto Alegre, Erick pretendia alugar um carro para passar dois dias na cidade. Informou-se em duas locadoras, e o aluguel de um carro da mesma categoria era: 
 Locadora A: R$50,00 por dia mais R$1,25 por quilmetro rodado. 
<p>
 Locadora B: R$100,00 por dia, com quilometragem livre. 
a) Na locadora B, ele gastaria R$200,00 pelos dois dias e poderia rodar quantos quilmetros quisesse. J na locadora A, 
  quanto ele pagaria se rodasse um total de *x* quilmetros nos dois dias? 
b) Para que quilometragem rodada a locadora A seria mais vantajosa para ele? 

2. O custo de *x* unidades de um produto  `(2.400+3,60x`) reais. O preo de venda de cada unidade  R$10,00. 
a) Qual  o preo de venda de *x* unidades? 
b) Quantas unidades precisam ser fabricadas e vendidas para que a fbrica tenha lucro, isto , para que o preo de venda seja maior que o preo de custo? 
<p>
3. Releia o problema proposto no incio do captulo. Supondo que as tarifas mensais fossem: 
 Telebom: R$25,00 mais R$0,30 por minuto de ligao efetuada. 
 Telestar: R$30,00 mais R$0,25 por minuto de ligao efetuada. 
  Para quantos minutos de ligao por ms a Telestar seria mais vantajosa para o consumidor? 
<F+>
<R->
<291>
<F->
<R+>

4. Releia o exerccio 1. supondo que as tarifas dirias fossem: 
 Locadora A: R$40,00 mais R$1,50 por quilmetro rodado. 
 Locadora B: R$70,00 mais R$0,75 por quilmetro rodado. 
  Para que quilometragem rodada sai mais barato alugar o carro na locadora B? 
<p>
5. Leia o exemplo e resolva as inequaes. 
<R->
2`(x-7`)<3`(x+1`)+4`(2x+3) 
2x-14<3x+3+8x+12 
2x-14<11x+15 
2x-11x<15+14 
-9x<29 
<F+>
  Multiplicando por `(-1), < 
  vira >: 
<F->
9x>-29
x>-29~9 
a) 2`(x-1`)<3`(x+4`)
b) 8`(1-x`)=4(3x-5) 
c) 3x+`(2x+1)>5`(1-x`)
d) 5`(x+1)-3`(1-x`)>=10
<F+>

<R+>
<F->
6. Leia o exemplo e resolva as inequaes. 
?x+1*~2+?2x-1*~
  ~3>?3x+1*~5 
mmc`(2, 3, 5)=30 
30.?x+1*~2+30.?2x-1*~
  ~3>30.?3x+1*~5 
15`(x+1)+10(2x-1)>6(3x+1) 
15x+15+20x-10>18x+6 
35x+5>18x+6 
<p>
35x-18x>6-5 
17x>1 
x>1~17 
a) ?x-1*~3>?2x+1*~4
b) x~2+x~3<?x+1*~4 
c) ?2x-1*~21>?7-x*~28+1
d) ?2x-1*~3<=1-?3x+1*~2 

7. Resolva as inequaes: 
a) 2x+7<x+3 
b) 3x+5>2x-3
c) 3-x<=-1+x 
d) 2-2x>3-3x 
e) 3x-4<=x+5 
<292>

8. Resolva as inequaes: 
a) `(x+3`)<-2`(3x+1`)
b) 3`(x-1`)+2>=5`(x+1`)-3`(x-2`)
c) ?x-7*~2<?2x+3*~5 
d) ?x-3*~2+?x+4*~
  ~3<=?2x+3*~5
e) 1~4`(x-2`)>=1~5`(2x-1`)

9. O custo de produo de *x* exemplares de um livro  R$2.100,00 mais R$2,00 por 
<p>
  exemplar impresso. Cada exemplar ser vendido por R$8,00. Que quantidade deve ser produzida e vendida para que a venda supere o custo de produo? 

10. Na Escola do Bairro, o ano letivo  dividido em trs trimestres. A mdia final de Ma-
  temtica  calculada pela expresso: ?2a+3b+5c*~10 sendo *a*, *b* e *c* as notas obtidas no 1, 2 e 3 trimestres, respectivamente. 
  Um aluno  considerado reprovado se sua mdia for inferior a 4 e  aprovado se sua mdia for 5 ou maior que 5. Caso contrrio, ele fica em recuperao. 
a) Se Jos Joaquim tirou 5,5 no 1 trimestre e 6,0 no 2, com que nota no 3 trimestre ele  reprovado? E que nota ele dever tirar para ser aprovado? 
b) Elias teve nota 4,5 no 1 trimestre e 7,0 no 2. Se ele ficou em recuperao, que nota ele tirou no 3 trimestre? 
<F+>
<R->
<p>
Representao na reta 

Inequao do 1 grau 

  Vamos considerar um problema: 

<R+>
_`[{uma jovem ao telefone pergunta: "Adicionando 2 ao triplo de um nmero, obtenho resultado maior do que se tivesse adicionado 100 ao nmero. Qual  o nmero?"_`]
<R->

  Para responder, vamos seguir as mesmas etapas da resoluo de equaes. 
  Estabelecendo a incgnita *x* igual a um nmero desconhecido, montamos a inequao: 
 2+3x>100+x, que pode ser transformada, aplicando as operaes elementares, em: 
 2x>98 
<293>
  Por recair nessa forma, dizemos que a inequao  do 1 grau. 
<p>
  Uma inequao com uma incgnita *x*  denominada inequao do 1 grau se puder ser reduzida, por meio de operaes elementares, a uma das formas ax<b, ax>b, ax<=b, ax>=b, em que *a* e *b* so nmeros reais e a=0. 

Representao geomtrica das 
  solues 

  Continuando a resoluo do problema anterior, temos: 
 2x>98 
 x>49 
  Assim, o nmero desconhecido pode ser qualquer nmero maior que 49. Ento, a inequao possui uma infinidade de solues. Elas podem ser representadas na reta da seguinte forma: 

<R+>
_`[{as representaes na reta sero transcritas da seguinte maneira: O smbolo *o* indica a bolinha vazia; o smbolo *o* indica a 
<p>
  bolinha cheia; o smbolo ** indica a soluo da inequao_`]
<R->

<F->
            49
  ::::::::::oo
<F+>

  Na reta numrica as solues dessa inequao so todos os nme-
ros que esto  direita do 49. A bolinha vazia *o* no 49 indica que ele no  soluo. 
  Veja agora a resoluo da inequao 3~4-?x-1*~2>=1.
 3~4-?x-1*~2>=1 
<F->
 multiplicamos por 4: 
4.3~4-4.?x-1*~2>=4.1
3-2`(x-1`)>=4
3-2x+2>=4
-2x>=4-3-2
-2x>=-1
 multiplicando por `(-1`),  
  > (maior que) vira < (menor 
  que):
`(-1`)`(-2x`)<=`(-1`)`(-1`) 
2x<=1
x<=1~2
<F+>
<p>
  A soluo  1~2 e todos os nmeros menores do que 1~2. Na reta, representamos assim: 

<F->
          1~2
  o:::::::::::o
<F+>

  Na reta numrica as solues dessa inequao ficam  esquerda 
de 1~2. A bolinha cheia *o* no 1~2 indica que ele tambm  uma soluo. 
<294>

Exerccios

<R+>
11. Que nmeros esto representados em cada reta? Responda associando cada figura a uma das inequaes de I a V. 
<R->

<F->
<F->
A o::::::::::::::o
    -3 -2 -1 0 1 2 3

B :::::::::::oo
     -2 -1 -1~2 0 1 2
<p>
C :::::::::::::::::::::oo
  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

D ::::::::<>o
  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
<F+>

<F->
I- x<=-1~2
II- x>2
III- x<0
IV- x<=-2
V- x>=-1~2

<R+>
12. Represente na reta os seguintes conjuntos: 
<R->
a) A=`{x,_r,x>3`} 
b) B=`{x,_r,x<2`} 
c) C=`{x,_r,x>=-1`}
d) D=`{x,_r,x<=3`}
e) E=`{x,_r,-2<x<3`}
f) F=`{x,_r,-1<=x<=4`}
<p>
<R+>
13. Observe os exemplos e ento descreva o conjunto numrico representado em cada item: 
<R->
<F+>

<F->
   1
:::oo

`{x,_r,x>1`}

          4
o::::::::::::o

`{x,_r,x<=4`}

 -1    2
::oo:::::::::::::::o

`{x,_r,-1<=x<2`}
<F+>

<F->
a) o:::::::::::::::o
       -2 

b) ::oo::o
     -3             5

c) ::::oo::::o
       -1        2
<p>
       0
d) :::oo

      -1~2    1~2
e) :::oo:::::o

     -8             8
f) ::oo::o

             -2  
g) ::o::::::::o

      -7
h) :::oo

     -1~2        5             
i) ::oo:::o

      -3~2     6
j) :::oo::::o
<F+>
<p>
<R+>
<F->
14. Faa o que se pede em cada item: 
a) Represente na reta os conjuntos numricos: 
 A=`{x,_r,x<2`} formado pelos reais menores que 2. 
 B=`{x,_r,x>=-1`} formado pelos reais -1 e maiores que -1. 
 C=A_B, formado pelos elementos comuns a A e B (isto , os nmeros que esto em A e tambm em B). 
b) Complete: C=`{x,_r,'''`} 
<295>

15. Represente na reta as solues de cada inequao: 
a) x~4-2x~3+x~2>5
b) x~2+1<=x~5-2
c) x~3+1~2>=3-x~7

16. Represente na reta os seguintes conjuntos numricos: 
a) A=`{x,_r,5x-3>13-5x`}
b) B=`{x,_r,1>x~2+x~3+
  +x~4+x~5`}
<F+>
<R->
<p>
Desafios 

Adolescente -- jovem -- adulto 

  Marcelo nasceu em 1991, quando seu pai tinha 26 anos. Em que anos com certeza o pai de Marcelo ter mais que o dobro, porm menos que o triplo da sua idade? 

Desigualdade no tringulo 

  A professora pediu aos alunos que construssem um tringulo escaleno, satisfazendo trs condies: 
<R+>
 As medidas dos lados so nmeros inteiros. 
 O maior lado  o dobro do menor. 
 O permetro  100. 
<R->
  Quantos tringulos diferentes poderiam ser construdos?  
<p>
Controlando a conta 

  Dona Ftima possui um telefone celular da companhia Telestar. 
  A conta mensal do seu celular  `(42,50+0,20x`) reais, em que *x* representa o tempo em minutos de ligaes efetuadas. 
  Para participar de uma promoo da operadora (sorteio de uma viagem), a conta precisa ser de pelo menos R$50,00. 
  Dona Ftima quer participar do sorteio, contanto que a conta no passe de R$60,00. Ento quantos minutos de ligaes ela pode efetuar num ms? 
  Nesse problema duas inequaes precisam ser satisfeitas simultaneamente: 
<R+>
 participar do sorteio: 42,50+0,20x>=50 
 no gastar mais de R$60,00: 42,50+0,20x<=60 
<R->
<296>
<p>
Sistemas de inequaes 

  Indicamos as duas inequaes simultneas do problema anterior desta forma: 
 42,50+20x>=50 e 42,50+
  +0,20x<=60 
  Elas formam um sistema de inequaes. 

Resoluo do sistema de 
  inequaes 

  As solues de um sistema de inequaes so os nmeros que sa-
tisfazem simultaneamente a todas as inequaes do sistema. Para determin-los, resolvemos cada inequao isoladamente e, depois, marcando na reta as solues de cada uma, verificamos quais so os nmeros comuns a todas as inequaes. 
<F->
  Em nosso exemplo, temos: 
1 inequao:  
42,50+0,20x>=50  
<p>
0,20x>=50-42,50 
0,20x>=7,50 
20x>=750 
x>=750~20
x>=37,5
2 inequao: 
42,50+0,20x<=60
0,20x<=60-42,50 
0,20x<=17,50 
20x<=1.750 
x<=1.750~20
x<=87,5

  Representao na reta: 
<F+>
               
<F->
                   37,5
1 inequao: ::::<>o

                          87,5
2 inequao: <>:::o

soluo:       :::<><>::o
                  37,5    87,5
<F+>

  As solues comuns so os nmeros *x* que verificam 37,5<=x<=87,5. 
<p>
  Dessa forma, para ter direito a participar da promoo sem ultrapassar o limite de gasto estabelecido por ela mesma, dona Ftima deve fazer ligaes num tempo total mnimo de 37,5 minutos e mximo de 87,5 minutos em cada ms. 
  Observe que: 
<R+>
 Ao representar as solues na reta, devemos tomar o cuidado de anotar os nmeros na ordem cres-
  cente, da esquerda para a direita. Nmeros iguais devem ficar alinhados. 
 As solues da primeira inequao formam um conjunto numrico A, denominado conjunto soluo da inequao: 
  A=`{x,_r,x>=37,5`}. O conjunto soluo da segunda inequao  B=`{x,_r,x<=87,5`}. 
<R->
  As solues comuns formam a interseo dos conjuntos A e B `(A_B`):
 A_B=`{x,_r,37,5<=x<=87,5`} 
<p>
  A_B  o conjunto soluo do sistema de inequaes proposto. 
<297>
  O conjunto soluo  tambm chamado conjunto verdade e o indicaremos por S ou por V. 
  Como exemplo, vamos resolver o sistema: x~2+1>?x+1*~3 e x~2+x~3>5.
<F->
x~2+1>?x+1*~3
6.x~2+6.1>6.?x+1*~3
3x+6>2`(x+1`)
3x+6>2x+2
3x-2x>2-6
x>-4
x~2+x~3>5
6.x~2+6.x~3>6.5
3x+2x>30
5x>30
x>30~5
x>6
<F+>
  Na reta:  
<F->
                   -4
1 inequao:  ::::oo

                         6
2 inequao:   ::::::::oo

<p>
                         6
Interseo:     ::::::::oo
<F+>

  O conjunto soluo do sistema  S=`{x,_r,x>6`}.
  Voc tambm pode responder que as solues do sistema so os nmeros maiores que 6, ou, apenas, x>6. 

Exerccios

<R+>
<F->
17. Releia o problema proposto "Controlando a conta", na pgina 766. Se a conta mensal do celular de dona Ftima fosse de `(36+0,25x`) reais, para *x* minutos de ligaes efetuadas, para que valores de *x* ela iria gastar mais de R$50,00 e menos de R$80,00 num ms? 
18. Uma corrida de txi custa `(4+1,25x`) reais, para *x* quilmetros rodados. Quantos qui-
<p>
  lmetros tem uma corrida que custa mais que R$8,00 e menos que R$12,00? 
19. Todas as corridas de hoje do taxista Manuel custaram de R$8,00, a menor delas, at 
  R$21,50, a maior. Se uma corrida custa `(3,50+1,50x`) reais, para *x* quilmetros rodados, de quantos quilmetros foi cada corrida? 
20. O custo de produo de *x* peas  `(500+2x`) reais, e o valor arrecadado na venda  5x reais. Desejando-se que as vendas sejam de R$10.000,00 no 
  mnimo, e que o custo no supere R$5.000,00, quais podem ser os valores de *x* (quantidade de peas)? 
<298>

21. Resolva os sistemas: 
a) 2x+5<=x-3 e 3x-1<=2x+1
b) 0<x-5 e 1>2x-11
c) ?x-1*~2>?3x-5*~4 e x>=2x-5
<p>
22. A conta mensal do celular de rica  `(25+0,25x`) reais, e a de Karen  `(32+0,20x`) reais, para *x* minutos de ligaes efetuadas. As contas de ambas costumam ficar entre R$40,00 e R$50,00. 
a) Quanto tempo cada uma delas gasta fazendo ligaes por celular? 
b) Se uma s liga para a outra, quantos minutos por ms elas se falam pelo celular? 

23. Resolva os sistemas de inequaes: 
a) x+3<=2 e x+2>=4
b) x>x~2-1 e x~3>x-1
c) x>=0, 2x+7>=3x+4 e x~3-1>-1~3
<p>
24. As medidas do tringulo a seguir esto em centmetros. 
<F+>
<R->

<F->
    
 x    x+3
      
       
--------u
  18-x
<F+>

<R+>
<F->
  Se em todo tringulo cada lado  menor que a soma dos outros dois, determine: 
a) os possveis valores de *x*; 
b) os possveis valores do permetro desse tringulo. 
<F+>

25. As medidas dos lados do tringulo a seguir esto em centmetros. Quanto pode medir o permetro do tringulo? 
<R->
<p>
<F->
       20-x
  ccccccccccccm
             
            
x+2        2x
          
         
        
<F+>

<R+>
<F->
26. Resolva as inequaes simultneas: 
2x-1<x+1<2 
  Esta  a forma compacta de escrever o sistema: 2x-1<x+1 e x+1<2.

27. Resolva as inequaes simultneas: 
a) 2x-7<x+1<1-2x 
b) 2x-1>x-3>1-x
c) 1-2x>=2`(x+1`)>=5x 
d) 2`(1-x`)<3`(1+x`)<=-`(x+2`)  
<F+>

28. Quantos nmeros inteiros satisfazem s inequaes 
  2x-3<=x<=1+3x?
<R->
<299>
<p>
Matemtica em notcia

Velho continente 

<R+>
<F->
_`[{grfico "Populao europeia envelhecer nos prximos 50 anos"; destacando o pas; anos 
  (2008 a 2060); acima de 65 anos (em %), contedo a seguir_`]
Itlia: 2008 :> 20,1%; 2060 
  :> 32,7%
Alemanha: 2008 :> 20,1%; 2060 
  :> 32,5%
Espanha: 2008 :> 16,6%; 2060 
  :> 32,3%
Portugal: 2008 :> 17,4%; 2060 
  :> 30,9%
Frana: 2008 :> 16,5%; 2060 
  :> 25,9%
Reino Unido: 2008 :> 16,1%; 
  2060 :> 24,7%
<F+>
<R->

Fonte: *Eurostat*. 

  A previso do Eurostat  de que a porcentagem atual de pessoas 
<p>
acima de 65 anos, de 17,1%, quase dobrar at 2060, chegando a 30%. A populao com mais de 80 anos praticamente triplicar no mesmo perodo, passando de 22 milhes `(4,4%`) para 61 milhes `(12,1%`). 
  Pelas projees do Eurostat, a mdio prazo a populao total da UE continuar crescendo, dos 495 milhes atuais para 521 milhes em 2035. A partir da sofrer um declnio, chegando a 506 milhes em 2060. 
  Dos 27 pases do bloco, 13 tero aumento populacional at 
2060, contra 14 que passaro pelo processo oposto. 

<R+>
(*Folha de S. Paulo*, 27/8/2008). 

<F->
a) De acordo com o texto, quantos so os habitantes dos pases da Unio Europeia (UE) com mais de 65 anos em 2008? E quantos sero em 2060? 
<p>
b) Quantos so os pases da UE em 2008? 
c) Dos pases apresentados no grfico, qual ter maior aumento porcentual na porcentagem da populao acima de 65 anos? 
<F+>
<R->

Desafio 

Reproduo acelerada 

  Num recipiente, h amebas que se multiplicam to rapidamente que dobram de volume a cada minuto. 
  Partindo-se de uma ameba, em 50 minutos o recipiente estar cheio de amebas. Em quanto tempo isso vai acontecer se partirmos de duas amebas? 
<300>

Teste seu conhecimento

<R+>
<F->
1. Resolvendo x`(9-1`)<2-1, obtemos: 
a) x<1~4
b) x<1
c) x<2
d) x>2
<p>
2. O nmero 2  soluo da inequao: 
a) `(x-1`)`(x+1`)<2 
b) ?x-1*~?2-x*<0
c) 2`(x+3`)<5+x3
d) ?x-2*~?x2-x*<0

3. O conjunto verdade da inequao 2-1.x>1 representado na reta numrica : 
<F+>
<R->

<F->
        -2  -1  0  1  2
a) o:::r:::r:::r:::r::::o

        -2  -1  0  1  2
b) :::::oo

        -2  -1  0  1  2
c) o::::o

          -2 -1  0  1  2
d) :::::::r:::r:::r:::r:::oo
<F+>
<p>
<R+>
4. Dados os conjuntos 
  A=`{x,_r,2x<6`} e 
  B=`{x,_r,x+3>=1`} o conjunto A_B, representado na reta, : 
<R->

<F->
      -2 -1  0  1  2  3
a) :::r:::r:::r:::r:::r:::oo

         -2  -1  0  1  2  3
b) o:::r:::r:::r:::r:::ro

      -2  -1   0   1   2   3
c) :::o::o::o::o::o::ro

      -2  -1  0  1  2  3
d) :::oo:::o
<f+>

<R+>
5. Os reais que satisfazem ?2-x*~4>4-x~2 esto representados em: 
<R->
<F->

         4
a) o:::::::::::::::::::::o

                      14
b) ::::::::::::::::::oo
<p>
        -2
c) :::::oo

            8
d) o::::::::::::::::::o
<F+>

<R+>
<F->
6. Quantos so os nmeros inteiros e negativos que satisfazem a seguinte inequao? 
2`(x~3-?x+1*~2`)<=?x+3*~4
a) dois 
b) trs 
c) quatro 
d) infinitos 

7. Todos os nmeros reais *x* que tm o seu dobro maior que a sua quarta parte acrescida de 2 so tais que:
a) x>1#,c
b) x>1#,e
c) x>1#,g 
d) x>1#,i
<p>
8. O conjunto soluo de 3`(x-1`)<?x-1*~2 e 4x<3`(x+1`) :
a) `{x,_r,1<x<3`}
b) `{x,_r,x>1`}
c) `{x,_r,x<3`}
d) `{x,_r,x<1`}

9. Quantos nmeros inteiros satisfazem 
  3x-2<=2`(x+3`)<3`(4x-1`)? 
a) nenhum 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
<p>
10. No tringulo a seguir, temos, com certeza: 
<F+>
<R->

<F->
   x+2
ccccccccm
       
x      6
     
    

a) x>2
b) x=3
c) x<3
d) permetro igual a 12.

<F+>
               oooooooooooo
<301>
<p>
<R+>
<F->
Unidade 10 -- Circunferncia, arcos e ngulos 
<302>
 
Captulo 23- Circunferncia e 
  crculo 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Distncia entre dois pontos 

  Dados dois pontos, A e B, sempre podemos traar vrias curvas unindo-os. 

_`[{figura no representada_`]

  Cada uma dessas curvas tem seu comprimento. A curva de menor comprimento  o segmento de reta ^c?{a{b*. 
  Por isso, dizemos que a medida de ^c?{a{b*  a distncia entre A e B. 
<p>
  A distncia entre dois pontos  a medida do segmento que tem extremidade nesses pontos. 

  Observe os seguintes exemplos: 
  A medida do segmento ^c?{a{b*  5 cm. 
  Dizemos que a distncia entre os pontos A e B  5 cm. 
  Um tringulo {a{b{c tem {a{b=3 cm, {b{c=4 cm e {a{c=5 cm. 
  A distncia entre A e B  3 cm. A distncia entre B e C  4 cm. A distncia entre A e C  5 cm. 
  Um segmento ^c?{a{b* mede 4 cm. Seu ponto mdio  M. 
  A distncia entre A e M  2 cm. A distncia entre B e M  2 cm. 
<303>
  A reta *m*  a mediatriz do segmento ^c?{a{b* (ou seja, *m*  perpendicular a ^c?{a{b* e passa por M, o ponto mdio de 
^c?{a{b*). 
<p>
  Sendo P um ponto qualquer de *m*, o tringulo {a{b{p  issceles de base ^c?{a{b*. Ento: 
^c?{p{a*==^c?{p{b* 
  A distncia entre P e A  igual  distncia entre P e B. O ponto P dista igualmente de A e de B. 

Circunferncia 

  Observe a figura _`[no representada_`].
  Os pontos A, B, C, D, E, F e G esto todos  distncia de 2 cm do ponto O. 
  Se considerarmos todos os pontos que esto a 2 cm do ponto O, eles formam uma curva chamada circunferncia. O ponto O  o centro da circunferncia. A distncia de O at um ponto P da circunferncia  o raio. 

_`[{figura no representada_`]
<p>
  Circunferncia  o conjunto de pontos de um plano que esto a uma 
dada distncia constante de um ponto fixo do plano. 

  O instrumento utilizado para desenhar circunferncias  o compasso. 
<304>

<R+>
_`[{para a construo 13, pea orientao ao professor_`]
<R->

Construo 13 

Circunferncia 

  Vamos construir uma circunferncia utilizando o compasso com abertura de 1,5 cm. 
<R+>
<F->
1- Usamos rgua e compasso. 
2- Com a ponta-seca do compasso, marcamos o ponto fixo O. 
3- Construmos uma circunferncia de centro O e raio 1,5 cm. 
<F+>
<R->
<p>
Corda 

  Corda  um segmento que tem por extremidades dois pontos da cir-
cunferncia. Na figura _`[no representada_`], ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so exemplos de cordas. 

Dimetro 
 
  Dimetro  uma corda que passa pelo centro da circunferncia. Na figura _`[no representada_`], ^c?{p{q* e ^c?{r{s* so exemplos de dimetros. 

  A medida do dimetro  o dobro da medida do raio. 
<305>

Posio de ponto e circunferncia 

  Dados uma circunferncia de centro O e raio *r* e um ponto 
<p>
qualquer, podem ocorrer trs situaes. Vamos representar cada 
uma delas por meio das figuras de trs circunferncias que tm centro O e raio 2 cm: 

<R+>
_`[{figura de uma circunferncia com um ponto O no centro. Dele parte um segmento de reta que 
  vai at a extremidade da circunferncia, ponto P_`]

_`[{figura de uma circunferncia com um ponto O no centro. Dele parte um segmento de reta que vai at prximo  extremidade da circunferncia, ponto Z_`]

_`[{figura de uma circunferncia com um ponto O no centro. Dele parte um segmento de reta que vai at a parte externa da circunferncia, ponto E_`]
<R->
<p>
Crculo 

  Observe a foto e as figuras 
 _`[no representadas_`]: 

<R+>
<F->
_`[{a foto mostra vitrias-rgias circulares de diferentes tamanhos, legenda a seguir_`]
Legenda: Vitrias-rgias em lago de Corup (SC).

_`[{trs figuras, legendas a seguir_`]
Legenda 1: Circunferncia.
Legenda 2: Conjunto dos pontos internos  circunferncia (inferior).
Legenda 3: Crculo.
<F+>
<R->

  Crculo  a reunio da circunferncia com o conjunto dos seus pontos internos.
<p>
Partes do crculo

  Vamos considerar um crculo C de centro O e dois pontos A e B da circunferncia de C, de modo que A e B no sejam extremidades de um dimetro. 
<306>

<R+>
Setor circular 
<R->

  Chama-se setor circular menor {a{o{b o conjunto formado com os pontos dos raios ^c?{o{a* e ^c?{o{b* e todos os pontos do crculo C que esto no interior do ngulo :?{a{o{b*.
  Chama-se setor circular maior {a{o{b o conjunto formado com os pontos dos raios ^c?{o{a* e ^c?{o{b* e todos os pontos do crculo que esto no exterior do ngulo :?{a{o{b*. 

_`[{figuras no representadas_`]
<p>
<R+>
Segmento circular 
<R->

  Chama-se segmento circular menor {a{b a interseo do crculo C com o semiplano de origem na reta ~:,?{a{b* e que no contm o centro de C. 
  Chama-se segmento circular maior {a{b a interseo do crculo C com o semiplano de origem na reta ~:,?{a{b* e que contm o centro de C. 

_`[Figuras no representadas_`]

<R+>
Semicrculo 
<R->

  Se A e B so extremidades de um dimetro de C, chama-se semicrculo {a{b a interseo do crculo C com um dos semiplanos de origem na reta ~:,?{a{b*. 

_`[Figura no representada_`]
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
  Nos exerccios 1 a 4, use rgua e compasso e desenhe no seu caderno. 

_`[{para os exerccios 1 a 5, pea orientao ao professor_`]

1. Desenhe um segmento ^c?{a{b* com medida 60 mm. Construa o conjunto dos pontos que distam igualmente de A e de B. 
2. Marque um ponto O. Construa o conjunto dos pontos que esto  distncia de 45 mm de O. 
3. Construa um tringulo {a{b{c com lados {a{b=6 cm, {b{c=4 cm e {a{c=5 cm. Em seguida, encontre o ponto P, que dista igualmente de A, de B e de C. 
<307>
4. Construa a circunferncia que passa pelos trs vrtices do tringulo {a{b{c, no qual {a{b=11 cm, {b{c=6 cm e {c{a=7 cm. 
<p>
5. Observe a figura _`[no representada_`] e responda: 
a) Quanto mede ^c?{o{a*? 
b) Quanto mede ^c?{o{b*? 
c) Quanto mede ^c?{o{c*? 
d) Os pontos A, B e C distam 1,5 cm de que ponto? 
e) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferncia. Qual  o centro da circunferncia? Quanto mede o raio da circunferncia? 

6. Como so chamados os pontos cuja distncia em relao ao centro da circunferncia  menor que o raio?  
7. A distncia entre os pontos externos a uma circunferncia e o centro dela  maior, menor ou igual ao raio?

_`[{para os exerccios 8 a 11, pea orientao ao professor_`]

8.  dada uma circunferncia de centro O e raio 2 cm. Verifique se os pontos X, Y, Z so 
<p>
  internos, pertencentes ou externos  circunferncia. 
a) X dista 1,5 cm de O; 
b) Y dista 2 cm de O; 
c) Z dista 2,5 cm de O. 

9. Dos segmentos assinalados na figura _`[no representada_`], indique os que so: 
a) raios 
b) corda  
c) dimetro 

10. Observando a figura _`[no representada_`], verifique se cada uma das afirmaes a seguir  certa ou errada: 
a) ^c?{o{a*  dimetro.  
b) ^c?{o{b*  raio.  
c) ^c?{b{c*  dimetro. 
d) ^c?{b{c*  corda.
e) ^c?{b{d*  dimetro. 
f) ^c?{b{d*  corda.  
<p>
11. Determine o raio do crculo de centro O _`[no representado_`], dados: {a{b=3x-3 e {o{a=x+3.  
12. O raio de uma circunferncia  dado por r=3x~2-5 cm. Se o dimetro mede 20 cm, determine *x*.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<308>
<R+>
Captulo 24- Posies relativas de reta e circunferncia

_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Distncia de ponto a reta 

  Dados um ponto O e uma reta *s*, sempre podemos traar vrios segmentos com uma extremidade em O e a outra em algum ponto de *s*. 

_`[{figura no representada_`]

  Cada um dos segmentos (^c?{o{a*, ^c?{o{b*, ^c?{o{c*, ^c?{o{p*, etc.) tem seu comprimento. O de menor comprimento  o segmento ^c?{o{p*, que  perpendicular  reta *s*. A medida de ^c?{o{p*  a distncia do ponto O  reta *s*. 
<p>
  A distncia de um ponto a uma reta  a medida do segmento perpendicular  reta com uma extremidade no ponto e a outra na reta. 

  Observe os exemplos a seguir: 
  O segmento ^c?{o{p*  perpendicular  reta *s* e mede 2 cm. 
  Dizemos que a distncia do ponto O  reta *s*  2 cm. 

<F->
          O
          o cl
          _   l
          _   l
          _   r:o d=2 cm
          _   l
          _   l
        _-_  -l
:::::::::j:::::::o
          P      s
<F+>

  As retas *s* e *t* so paralelas. Os pontos A, B e C so pontos de *s*. As distncias de 
<p>
A, B e C  reta *t* so iguais. 
 ^c?{a{a*1==^c?{b{b*1==
  ==^c?{c{c*1

<F->
   A      B    C 
::o::::::o::::o::::o
   _       _     _     s
   _       _     _
   _       _     _
   _       _     _
   _       _     _
   __-     __-   __-
::o::::::o::::o::::o
   A1   B1 C1 t
<F+>

  M  o ponto mdio do segmento ^c?{a{b*. A reta *s*  uma reta que passa por M. 
  Traando por A o segmento ^c?{a{a*1#'s e por B o segmento ^c?{b{b*1#'s, temos: 
 {a{a1M=={b{b1M (pelo 
  critrio {l{a{ao). 
  E, ento, ^c?{a{a*1==  
 ==^c?{b{b*1. 
<p>
  A distncia de A a *s*  igual  distncia de B a *s*. Os pontos A e B distam igualmente da reta *s*. 

<F->
       s
      _
      _B1  B
      _cccccc 
      __-    
      _     
      _    
      _   
      _   
      _ 
      o M
     _
     _
     _
     _
   _-_
-----#
A    A1
<F+>
<309>

  A semirreta Os  bissetriz do ngulo :?a{ob*. O ponto P  um ponto qualquer da bissetriz. 
<p>
  Traando por P o segmento ^c?{p{a*#'{oa e o segmento ^c?{p{b*#'{ob, temos: 

_`[{figura no representada_`]

 tringulo {o{a{p== tringulo 
  {o{b{p (pelo critrio 
  {l{a{ao).
  E, ento, ^c?{p{a*==^c?{p{b* 
  A distncia de P a {oa  igual  distncia de P a {ob. O ponto P dista igualmente de {oa e de {ob. 

Exerccios

<R+>
<F->
  Nestes exerccios, use rgua e compasso e desenhe no caderno. 

_`[{para os exerccios 13 a 16, pea orientao ao professor_`]

13. Desenhe duas retas perpendiculares, *r* e *s*. Construa o conjunto dos pontos que distam igualmente de *r* e de *s*. 
<p>
14. Desenhe uma reta *r*. Em seguida, construa o conjunto dos pontos que esto  distncia de 3 cm da reta *r*. 
15. Desenhe duas retas, *r* e *s*, que formam entre si ngulos de 60 e 120. A seguir, construa o conjunto dos pontos que distam igualmente de *r* e de *s*. 
16. Construa um tringulo {a{b{c com lados {a{b=6 cm, {b{c=8 cm e {a{c=10 cm. Em seguida, encontre o ponto P que dista igualmente dos trs lados ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c*. 
<F+>

Posies de reta e circunferncia 

Reta e circunferncia secantes 
<R->

  Se uma reta corta uma circunferncia *c* em dois pontos distintos, dizemos que ela  secante  circunferncia. A distncia *d* do centro da circunferncia  reta secante  menor que o raio *r*. 
<p>
  A figura _`[no representada_`] mostra que: 
 *s* corta C nos pontos A e 
  B; 
 *s*  secante; 
 ^c?{a{b*  uma corda. 

  d < r

  Secante: do latim, "que corta". 
<310>

Propriedade 

  Vamos considerar uma secante *s* que determina uma corda ^c?{a{b*, numa circunferncia de centro O. 

_`[{figura no representada_`]

  Por O vamos traar a reta *x* perpendicular a *s*. As retas *x* e *s* cortam-se em M. 
  Como o tringulo {o{a{b  issceles e ^c?{o{m*  a altura rela-
<p>
tiva  base ^c?{a{b*, ^c?{o{m*  tambm mediana; portanto, M  o ponto mdio da corda ^c?{a{b*. 

  A reta perpendicular  secante, conduzida pelo centro da circunferncia, passa pelo ponto mdio da corda. 

  Tambm vale a recproca: 

  A reta conduzida pelo centro e que passa pelo ponto mdio da corda  perpendicular  secante. 

Reta e circunferncia tangentes 

  Se uma reta tem um s ponto comum com uma circunferncia, dizemos que ela  tangente  circunferncia. 
  Observe na figura _`[no representada_`] que: 
<R+>
 P  o nico ponto comum a *t* e C; 
<R->
<p>
 *t*  tangente; 
 P  o ponto de tangncia.

  d=r  

  Tangente: do latim, "que toca". 

Propriedade 

  Vamos considerar uma reta *t* tangente em P  circunferncia de centro O. 

_`[{figura no representada_`]

  Qualquer ponto X de *t*, com exceo de P,  externo  circunferncia; portanto, a distncia de X at o centro  maior que o raio. Temos: 
 {o{x > r e {o{p=r :> {o{x > {o{p 
<311>
  Conclumos, ento, que {o{p  a distncia do ponto O  reta *t* e, dessa forma, a reta *t*  perpendicular a ^c?{o{p*. 
<p>
  Toda tangente  perpendicular ao raio no ponto de tangncia. 

  E vale a recproca da propriedade: 

  Toda reta perpendicular ao raio na extremidade deste oposta ao centro da circunferncia  tangente a essa circunferncia. 

Reta e circunferncia externas 

  Se uma reta no tem ponto comum com uma circunferncia, dizemos que ela  externa  circunferncia. 
  A distncia *d* do centro da circunferncia  reta externa  maior que o raio *r*. 
  Pela figura _`[no representada_`], temos: 
 C e *e* no tm ponto comum; 
 *e*  externa a C. 

  d > r
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 17 a 27, pea orientao ao professor_`]

17. Sabendo que *s*  perpendicular a ^c?{a{b*, determine o valor de *x*.  

_`[{figura no representada_`]

18. Em cada item, sendo *d* a distncia do centro de uma circunferncia de raio *r* a uma reta, d a posio relativa da reta em relao  circunferncia: 
a) d=5 cm e r=3 cm  
b) d=7 cm e r=8 cm  
c) d=2 cm e r=1,5 cm 
d) d=4 cm e r=4 cm  
e) d=5 cm e r=2,5 cm  
f) d=0 e r=2 cm  
<312>
<p>
19. Uma reta *s* determina sobre uma circunferncia de centro O 
  e raio *r* uma corda ^c?{a{b*. O ponto mdio de ^c?{a{b*  M. 
a) Que ngulos a reta *s* forma com a reta ~:,?{o{m*? 
b) Compare as medidas de ^c?{o{a*, ^c?{o{m* e ^c?{o{b*. 

20. Sabendo que ^c?{a{m*==
  ==^c?{m{b* e ^c?{c{d*  um dimetro, determine o valor de *x*. 

_`[{figura no representada_`]

21. Prove que, se duas cordas de uma circunferncia esto a uma mesma distncia do centro, ento elas so congruentes. 
22. A distncia do centro de uma circunferncia de 7 cm de raio a uma reta  dada por d=`(5+9x~2`) cm. Sabendo que a reta  tangente  circunferncia, determine *x*.
<p>
23. A distncia de uma reta *s* ao centro de uma circunferncia de 7 cm de dimetro  dada por `(5x~2+3`) cm. Estabelea os valores de *x* para que a reta e a circunferncia sejam: 
a) tangentes 
b) secantes  
c) externas  

24. Sabendo que a reta *t* e a circunferncia de centro O s tm em comum o ponto T, determine o valor de *x*.  

_`[{figura no representada_`]

25. Construa uma circunferncia de centro O e raio 4 cm. Marque um ponto T em qualquer lugar da circunferncia. Construa a reta que passa por T e  tangente  circunferncia.
<p>
26. Na figura _`[no representada_`], as retas *r* e *s* so 
  tangentes externas, comuns s circunferncias C1 e C2. Responda se  verdadeiro ou falso: 
a) ^c?{o1{m*#'^c?{o1{o2*
b) ^c?{o1{n*#'r
c) ^c?{o2{p*#'^c?{n{p*
d) ^c?{o2{q*#'^c?{m{q*
e) ^c?{o1{o2*#'^c?{q{p*
f) ^c?{o1{m*#'^c?r*
g) ^c?{o1{m*_l^c?{o2{q*
h) ^c?{o1{n*_l^c?{o2{p*
i) ^c?{o1{m*#'s
<313>

27. Na figura _`[no representada_`], as retas *x* e *y* so tangentes internas comuns s circunferncias C1 e C2. 
a) A quais raios a reta *x*  perpendicular? 
b) A quais raios a reta *y*  perpendicular?  
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

Descubra a resposta com 
  uma balana 

  Em um grupo de 12 bolinhas de mesmo tamanho e cor, 11 bolinhas apresentam o mesmo peso e uma  um pouco mais pesada que as outras. Como se pode descobrir qual bolinha  a mais pesada, em trs etapas, usando uma balana de dois pratos? 

               ::::::::::::::::::::::::

<314>
<p>
Captulo 25- Posies 
  relativas de duas 
  circunferncias

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Circunferncias tangentes 

  Duas circunferncias que tm um nico ponto comum so tangentes. 
  Temos dois casos: 
<R+>
 Uma circunferncia  tangente interna  outra. 
<R->
  Nesse caso, as circunferncias tm um nico ponto comum, e os demais pontos de uma so internos  outra. 
  Observe a foto. As argolas tm apenas um ponto em comum, como no esquema a seguir. 
<p>
<R+>
_`[{foto descrita por sua legenda_`]
 *Sem ttulo*, Benjamin, 1997. Circunferncia de 120 cm feita de ferro e solda eltrica.

_`[{esquema indicando uma circunferncia menor C2, colocada dentro de outra maior, C1. A menor  tangente da maior no ponto T_`]

<R->
  Se traarmos a reta *t*, passando pelo ponto T e tangente  circunferncia C2, *t* tambm ser tangente a C1. Teremos, ento: 
 ^c?{o1{t*#'t e ^c?{o2{t*#'t

_`[{figura no representada_`]

  Como existe uma nica reta perpendicular a *t* pelo ponto T, teremos O1, O2 e T alinhados (sobre a mesma reta). 
<315>
<p>
  Sendo r1 e r2 os raios, com r1> r2, e *d* a distncia entre os centros, temos:
 O1O2+O2T=O1T 
 d+r2=r1 
 
  d=r1-r2 

<R+>
 As circunferncias so tangentes externas. 
<R->
  Nesse caso, as circunferncias tm um nico ponto comum, e os demais pontos de uma so externos  outra. 

_`[{figura no representada_`]

  T  o nico ponto comum a C1 e C2. 
  T  o ponto de tangncia. 
  Aqui tambm teremos O1, O2 e T alinhados. Sendo r1 e r2 os raios e *d* a distncia 
entre os centros, temos: 
 {o1{t+{t{o2={o1{o2 
 r1+r2=d 
 
  d=r1+r2 
<p>
Circunferncias externas 

  Duas circunferncias so externas se os pontos de cada uma delas so externos  outra. Nesse caso, as circunferncias no tm ponto comum. 

_`[{figuras no representadas_`]

  d > r1+r2 

Circunferncia interna a outra 
  circunferncia 

  Uma circunferncia  interna a outra se todos os seus pontos so internos a outra circunferncia. Nesse caso, as circunferncias tambm no tm ponto comum. 
<316>
  Sendo r1 e r2 os raios, com r1> r2, e *d* a distncia entre os centros, temos: 
 d+r2< r1 
 
  d < r1-r2 
<p>
Caso particular: circunferncias 
  concntricas 

  Observe a foto e o esquema a seguir: 

<R+>
_`[{foto de um disco de vinil, com destaque para algumas faixas que apresentam cores diferentes. Ao lado, h um esquema, mostrando uma circunferncia menor C2, colocada no interior de uma maior, C1. Ambas apresentam um ponto no centro, O1=
  =O2_`]
<R->

  A circunferncia C2  interna  circunferncia C1. 
  O centro de C2 e o centro de C1 coincidem. Portanto, as duas circunferncias tm o mesmo centro. Nesse caso, dizemos que C1 e C2 so concntricas. 
  A distncia entre os centros  zero. 

   d=0 
<p>
Circunferncias secantes 

  Observe a foto _`[no representada_`]. Duas circunferncias so secantes se tm em comum apenas dois pontos distintos. 
  Vamos supor que duas circunferncias secantes apresentem: 
 centros O1 e O2; 
 raios r1 e r2, com 
  r1> r2; 
 pontos comuns: A e B.
  No tringulo {a{o1O2 _`[no representado_`], cada lado  menor 
que a soma dos outros dois. 
  Ento: 
 r1< d+r2 e d < r1+r2
  E da, conclumos: 
 r1-r2< d e d < r1+r2
 
   r1-r2< d < r1+r2
<317>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 28 a 42, pea orientao ao professor_`]

28. Responda se so secantes, concntricas ou tangentes duas circunferncias que tm: 
a) s dois pontos comuns; 
b) s um ponto comum; 
c) o mesmo centro. 

29. As circunferncias da figura _`[no representada_`] so tangentes externamente. Se a distncia entre os centros  28 cm e a diferena entre os raios  8 cm, determine os raios. 
30. Duas circunferncias so secantes, e a distncia entre seus centros  20 cm. Sabendo que o raio da menor circunferncia mede 11 cm, determine o raio da maior, que  mltiplo de 6.  
31. Duas circunferncias _`[no representadas_`] so tangentes internamente, e a soma dos raios  30 cm. Se a distncia entre 
<p>
  os centros  6 cm, determine os raios. 
32. O que podemos dizer da reta que passa pelo ponto de tangncia de duas circunferncias tangentes entre si, sabendo que essa reta  perpendicular  reta que passa pelos centros dessas circunferncias? 

33. Sendo r1 e r2 os raios de duas circunferncias, C1 e C2, respectivamente, e *d* a distncia entre os centros, d 
  as posies relativas em cada item. Sugesto: Use rgua e compasso. 
a) r1=2 cm, r2=5 cm e d=10 cm  
b) r1=3 cm, r2=7 cm e d=4 cm 
c) r1=5 cm, r2=5 cm e d=8 cm 
d) r1=4 cm, r2=3 cm e d=7 cm  
<p>
e) r1=3 cm, r2=10 cm e d=4 cm 
f) r1=2 cm, r2=d=2 cm  

34. Sendo r1 e r2 os raios de duas circunferncias, C1 e C2, respectivamente, com 
  r1> r2, e *d* a distncia entre os centros, determine o nmero de pontos comuns a C1 e C2 em cada item a seguir. 
a) d < r1-r2
b) d=r1-r2 
c) r1-r2< d < r1+r2
d) d=r1+r2

35. Se r1=20 cm, r2=8 cm e C1 e C2 so tangentes, determine a distncia entre O1 e a reta *s*, paralela a *t* por O2.  

_`[{figura no representada_`]

36. Determine o nmero de retas tangentes comuns a duas circunferncias que podemos traar no 
<p>
  caso em que as circunferncias so: 
a) concntricas distintas;   
b) exteriores;  
c) secantes;  
d) tangentes exteriormente; 
e) tangentes interiormente.  
<318>

37. Determine a distncia O1O2 em cada item. 
a) r1=6, r2=4 
b) r1=7, r2=8 e r3=10 

38. A distncia entre os centros de duas circunferncias tangentes internamente  5 cm. Se a 
  soma dos raios  11 cm, determine os raios. 
39. A distncia entre os centros de duas circunferncias tangentes exteriormente  de 33 cm. Determine seus dimetros, sabendo que a razo entre seus raios  #g. 
40. Na figura _`[no representada_`], as circunferncias so tangentes duas a duas, e os cen-
<p>
  tros so os vrtices do tringulo {a{b{c. Sendo {a{b=7 cm, {a{c=5 cm e {b{c=6 cm, determine os raios das circunferncias. 
41. Duas circunferncias de centros A e B so tangentes externamente e tangenciam internamente uma circunferncia de centro C. Sendo {a{b=12 m, {a{c=17 m e {b{c=13 m, determine os raios dessas circunferncias. 

42. C1 e C2 so duas circunferncias de raios r1=2 cm e r2=5 cm, e *d*  a distncia entre seus centros. Quantas tangentes comuns tm C1 e C2 para cada valor de *d* a seguir? 
a) d=10 cm  
b) d=7 cm  
c) d=3 cm  
d) d=4 cm  
e) d=1 cm  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<319>
<p>
<R+>
Captulo 26- Segmentos 
  tangentes
<R->

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Os segmentos tangentes a uma circunferncia apresentam propriedades interessantes que conheceremos agora. 
  Verificamos que, na figura 
 _`[no representada_`], temos: 
<R+>
 uma circunferncia C de centro O; 
 um ponto P externo  circunferncia C;  
 os segmentos ^c?{p{a* e ^c?{p{b* tangentes  circunferncia nos pontos A e B, respectivamente. 
<R->
<p>
Propriedades 

  Observe os tringulos _`[no representados_`] {p{a{o e {p{b{o: 
  Por aplicao do caso especial de congruncia de tringulos retngulos (caso: cateto-hipotenusa), vem: 
 ^c?{o{a*==^c?{o{b* (raio); 
  ^c?{o{p* comum; :A=:B=90  
   :> tringulo {p{a{o== tringulo 
  {p{b{o :> ^c?{p{a*==^c?{p{b*
  Assim, podemos concluir que: 

  Se de um ponto P traarmos os segmentos ^c?{p{a* e ^c?{p{b*, ambos tangentes a uma circunferncia, com A e B na circunferncia, ento: ^c?{p{a*==^c?{p{b*.
 
  Da congruncia dos tringulos {p{a{o e {p{b{o tambm conclumos que: 
 :?{a{p{o*==:?{b{p{o*
  E isso significa que a semirreta :,?{p{o*  bissetriz do ngulo :?{a{p{b*. 
<p>
  Se uma circunferncia tangencia os lados de um ngulo, ento seu centro est na bissetriz desse ngulo. 
<320>

Circunferncia inscrita em 
  tringulo 

  Na figura _`[no representada_`] temos um tringulo {a{b{c e as bissetrizes de seus ngulos. 
  Vimos que as bissetrizes se cruzam no ponto O. Por estar nas trs bissetrizes, o ponto O dista igualmente dos lados ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c*. 
  Sendo *r* a distncia de O at cada lado, pode-se construir uma circunferncia de centro O e raio *r* tangente aos trs lados do tringulo. 
  Essa circunferncia  chamada circunferncia inscrita no tringulo {a{b{c, e seu centro O  chamado incentro do tringulo. 
<p>
Dizemos tambm que o tringulo {a{b{c  circunscrito a essa circunferncia. 

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 43 a 58, pea orientao ao professor_`]

43. Determine *x*, em cada item, sabendo que os segmentos so tangentes  circunferncia. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]

44. Sejam M, N e P os pontos de tangncia da circunferncia inscrita com os lados ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c* de um tringulo. Se {a{p=3 cm, {b{n=4 cm e {c{n=6 cm, determine os lados e o permetro do tringulo _`[no representado_`]. 
<321> 
<p>
45. O ponto D  o ponto de tangncia da circunferncia inscrita com o lado ^c?{b{c* do tringulo {a{b{c _`[no representada_`]. Sabendo que {a{b=6 cm, {b{c=10 cm e {a{c=12 cm, determine {b{d. 
46. Calcule o permetro do tringulo {a{b{c _`[no representado_`], sabendo que R, S e T so pontos de tangncia, {a{r=7 cm, {b{s=5 cm e {c{t=6 cm. 
47. P  o ponto de tangncia da circunferncia inscrita no tringulo {a{b{c com o lado ^c?{a{b*. Se {a{b=7, {b{c=6 e {a{c=8, determine {a{p. 
48. Determine o raio da circunferncia inscrita num tringulo retngulo _`[no representado_`] em que os catetos medem 3 cm e 4 cm e a hipotenusa mede 5 cm. 
49. Na figura _`[no representada_`], {p{a=10 cm. Calcule o permetro do tringulo {p{r{s.
<322>
<p>
50. Determine *x* em cada item. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]

51. As circunferncias so tangentes externamente em Q e :,?{p{a* e :,?{p{b* so tangentes s circunferncias. Determine a medida do ngulo :?{a{q{b*, em que *t*  tangente comum e :?{a{p{b*=80.

_`[{figura no representada_`]

52. Seja P o ponto de tangncia da circunferncia inscrita no tringulo {a{b{c _`[no representado_`], com o lado ^c?{a{b*. Calcule ^c?{a{p*. So dados: {a{b=14 cm, {b{c=12 cm e {a{c=10 cm. 
<p>
53. Na figura _`[no representada_`], o crculo de centro O est inscrito no tringulo {a{b{c. Os pontos D, E e F so pontos de tangncia. Se {b{d=4 cm, {a{f=3 cm e {c{e=2 cm, determine o permetro do tringulo. 
54. Os lados de um tringulo retngulo _`[no representado_`] medem 5 cm, 12 cm e 13 cm. Calcule o raio da circunferncia inscrita nesse tringulo. 

55. Na figura _`[no representada_`], o segmento tangente ^c?{p{a* mede 15 cm e ^c?{p{r* mede 12 cm. 
a) Qual  a medida de ^c?{r{s*?  
b) Qual  o permetro do tringulo {p{r{t? 
<323>

56. Um tringulo retngulo tem catetos que medem 6 cm e 8 cm. Sabendo que o raio da circunferncia inscrita  2 cm, determine a hipotenusa. 
<p>
57. Na figura _`[no representada_`], ^c?{p{a*  igual ao triplo do dimetro da circunferncia. Determine o permetro do tringulo {p{d{e em funo do raio *r* dessa circunferncia. 
58. Na figura _`[no representada_`], sendo 2p=a+b+c e *r* o raio do crculo inscrito, calcule a medida da hipotenusa *a* em funo de *p* e *r*. 
{a{b=c, {a{c=b, {b{c=a  
<F+>
<R->

Quadrilteros circunscritveis 

  Se os quatro lados de um quadriltero convexo so tangentes a uma circunferncia, dizemos que o quadriltero est circunscrito  circunferncia. Dizemos tambm que a circunferncia est inscrita no quadriltero. 
  Na figura _`[no representada_`], observe que: 
<R+>
<p>
 o quadriltero {l{i{m{a est circunscrito  circunferncia C; 
 a circunferncia C  inscrita no quadriltero {l{i{m{a. 
<R->

Propriedade 

  Consideremos pela figura _`[no representada_`] um quadriltero {a{b{c{d circunscrito a uma circunferncia e os pontos de tangncia X, Y, Z e T. 
<324>
  Usando a propriedade dos segmentos tangentes, vamos considerar: 
 {a{x={a{t=a; {b{x={b{y=b; {c{y=
  ={c{z=c; {d{z={d{t=d. 
  Agora, vamos obter a soma de dois lados opostos: 
 {a{b+{c{d e {a{d+{b{c
  Temos: 
 {a{b+{c{d={a{x+{b{x+{c{z+{d{z, ou 
  seja, {a{b+{c{d=a+b+c+d 
 {a{d+{b{c={a{t+{d{t+{b{y+{c{y, ou 
<p>
  seja, {a{d+{b{c=a+d+b+c 
  Conclumos que: 
 {a{b+{c{d={a{d+{b{c 
  
  Se um quadriltero  circunscrito a uma circunferncia, a soma das medidas de dois lados opostos  igual  soma das medidas dos outros dois lados opostos. 

  A recproca dessa propriedade  verdadeira: 

  Se a soma das medidas de dois lados opostos de um quadriltero convexo  igual  soma das medidas dos outros dois, o quadriltero  circunscritvel. 

Exerccios

<R+>
59. Em cada item, um quadriltero est circunscrito a uma circunferncia. Determine *x*. 
<R->
<p>
a)
<F->
          8 cm
        pcccccc
        l      _
        l      _ x
        l      _
        l        
 15 cm l      
        l    12 cm
        l     
        l         
        v    

b)
<F->
           9
        pcccccc
        l      _
        l      _ 8
        l      _
        l        
   x+3 l      
        l    2x-5
        l     
        l         
        v    
<p>
c)
<F->
      12 cm
      ccccc     
   x         x   
                
                
  -------------u 
      20 cm
<F+>

d)
<F->
            
       12    x~3+7
               
               
                 
   2x-6      10
             
             
<F+>
<F+> 

<R+>
<F->
60. Um quadriltero {a{b{c{d em que {a{b=4 cm, {b{c=3 cm, {c{d=6 cm e {a{d=5 cm  circunscritvel? Por qu? 
<325>
<p>
_`[{para os exerccios 61 a 63, pea orientao ao professor_`]

61. Determine o permetro do quadriltero {c{u{b{o circunscritvel da figura _`[no representada_`]. Dados: {b{u=3x+1, {u{c=2x, {o{c=x+1 e {o{b=3x.
62. Calcule o valor do raio *r* do crculo inscrito no trapzio retngulo _`[no representado_`].  
63. Na figura _`[no representada_`], determine o permetro do tringulo {a{d{e, sabendo que o permetro do tringulo {a{b{c vale 10 cm, a base ^c?{b{c* mede 4 cm e o crculo est inscrito no quadriltero {b{c{d{e. 
64. Um trapzio retngulo {a{b{c{d est circunscrito. Sendo :A=90, :B=90, {b{c=30 cm, {c{d=26 cm e {a{d=20 cm, determine o raio da circunferncia inscrita. 
<p>
65. {a{b{c{d  um quadriltero circunscritvel cujos lados medem {a{d=12 cm, {d{c=9 cm, {b{c=x+7 e {a{b=2x+1. Determine o permetro desse quadriltero. 
66. Um trapzio issceles est circunscrito a uma circunferncia. As bases medem 10 cm e 36 cm. Quanto mede cada um dos outros lados?  
67. Um trapzio escaleno de bases 6 m e 10 m  circunscritvel. Qual  seu permetro?  

68. Responda: certo ou errado? 
a) Todo paralelogramo  circunscritvel. 
b) Todo retngulo  circunscritvel. 
c) Todo losango  circunscritvel.  
d) Todo quadrado  circunscritvel.  
e) Todo quadriltero  circunscritvel.  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
Captulo 27- Arcos de 
  circunferncia

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Observe os brincos da foto. So exemplos de arcos de circunferncia. 

<R+>
_`[{foto mostrando dois brincos de argola_`]
<R->

  Na figura _`[no representada_`] temos uma circunferncia C de centro O e dois de seus pontos, A e B, que no so extremidades de um dimetro. 
  Os dois pontos, A e B, permitem decompor a circunferncia em duas partes chamadas arcos: 
<R+>
 o arco menor ^:?{a{b*; 
<p>
 o arco maior ^:?{a{b*, que fica mais bem caracterizado com um ponto auxiliar X: arco ^:?{a{x{b*. 

<F->
_`[{trs circunferncias, destacando os arcos_`]
arco menor ^:?{a{b* ou arco ^:?{a{b* 
arco maior ^:?{a{b* ou arco ^:?{a{x{b*
arco ^:?{a{b* e arco ^:?{a{x{b*
<F+>
<R->

  Os pontos A e B so extremidades ou extremos do arco ^:?{a{b*, em qualquer dos casos. 

  Sempre que se faz referncia a um arco ^:?{a{b*, considera-se o arco menor ^:?{a{b*. 

Semicircunferncia 

  Se os pontos A e B so extremidades de um dimetro, cada uma das partes da circunferncia determinadas por A e B  uma semicircunferncia. 
<p>
  Uma semicircunferncia tambm  um arco. Observe isso nas figuras _`[no representadas_`]. 
<327>

ngulo central 

  Um ngulo que tem o vrtice no centro de uma circunferncia  chamado ngulo central dessa circunferncia. 
  Observe a figura _`[no representada_`].
<R+>
<F->
:?{a{o{b*  um ngulo central.
^:?{a{b*  o arco correspondente ao ngulo central :?{a{o{b*.
^:?{a{b*  o arco subentendido pelo ngulo central :?{a{o{b*.
<F+>
<R->

Arcos congruentes 

  Observe a figura _`[no representada_`].
  Os ngulos centrais :?{a{o{b* e :?{c{o{d* so congruentes. 
<p>
  Os arcos ^:?{a{b* e ^:?{c{d* tambm so congruentes. 
<R+>
 ^:?{a{b*==^:?{c{d* <:> :?{a{o{b*==:?{c{o{d*
<R->

  Dois arcos de uma mesma circunferncia so congruentes quando os ngulos centrais correspondentes so congruentes. 

  Numa circunferncia de centro O, um arco ^:?{m{n*  maior que um arco ^:?{r{s* se o ngulo central correspondente a ^:?{m{n*  
maior que o ngulo central correspondente a ^:?{r{s*: 
<R+>
^:?{m{n*>^:?{r{s* <:> 
  :?{m{o{n*>:?{r{o{s*  
<R->

_`[{figura no representada_`]

Medida de um arco 

  A unidade de arco (ou arco unitrio)  o arco determinado na 
<p>
circunferncia por um ngulo central unitrio (unidade de ngulo). 

_`[{figura no representada_`]
<328>

  Observe a figura _`[no representada_`].
  H dois arcos de 1 em circunferncias concntricas. 
  Agora veja esta figura _`[no representada_`].
<R+>
 ^:?{a{b*=:?{a{o{b*, em que ^:?{a{b*  a medida do arco e :?{a{o{b*  a medida do ngulo central. 
<R->
  Chamando de :b a medida do ngulo central, temos: :b=^:?{a{b*. 

  A medida de um arco  a medida do ngulo central correspondente: :b=^:?{a{b*.
<p>
  Observe outro exemplo: 

_`[{figura no representada_`]

<F->
^:?{a{b*=30
^:?{c{d*=30
:?{r{o{s*=30
^:?{e{f*=30
^:?{g{h*=30
<F+>

Medida do arco maior 

  Na figura _`[no representada_`], o arco ^:?{a{b* mede 50. Quanto mede ^:?{a{x{b*? 
  Observemos que ^:?{a{b*+
 +^:?{a{x{b*=360, ento a medida do arco maior ^:?{a{x{b*  igual  diferena: 
<R+>
 ^:?{a{x{b*=360-50, isto , ^:?{a{x{b*=310 
<R->
<329>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 69 a 72, pea orientao ao professor_`]

69. Determine as medidas dos arcos ^:?{a{b* e ^:?{a{x{b* e a medida do ngulo :?{a{o{b* das figuras _`[{no representadas_`]. 
a) ngulo central :?{a{o{b*=60
b) ngulo central :?{r{o{s*=
  =120

70. Sabendo que O  o centro da circunferncia, determine *x*. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]

d) _`[{figura no representada_`]

e) _`[{figura no representada_`]

f) _`[{figura no representada_`]
<p>
71. Um arco  #,h de uma circunferncia. Quanto mede o ngulo central correspondente? 

72. Na figura _`[no representada_`], as circunferncias so concntricas, ^:?{d{f*=80 e :?s{ot*=150. Determine as medidas: 
a) dos ngulos :?r{ot* e :?r{os*
b) dos arcos ^:?{a{b* e ^:?{e{f* 
c) dos arcos ^:?{d{e* e ^:?{h{i* 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<330>
Captulo 28- ngulos inscritos 
  em circunferncias 

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

   Um ngulo que tem o vrtice numa circunferncia e os lados secantes a ela  chamado ngulo inscrito nessa circunferncia. 

_`[{figura no representada_`]

:?{a{v{b*  um ngulo inscrito na 
  circunferncia C.

  Observe a figura _`[no representada_`].
<R+>
<F->
:?{a{v{b*  um ngulo inscrito. 
^:?{a{b*  o arco correspondente ao ngulo :?{a{v{b*.
:?{a{o{b*  o ngulo central correspondente ao arco ^:?{a{b*. 
<F+>
<R->
<p>
  Dizemos que :?{a{o{b*  o ngulo central correspondente ao ngulo inscrito :?{a{v{b* porque 
ambos determinam o mesmo arco ^:?{a{b* na circunferncia. 

Medida do ngulo inscrito 

  Tomando como referncia a posio do centro O da circunferncia em relao a um ngulo inscrito :?{a{v{b*, temos trs casos a considerar: 

<R+>
_`[{as figuras, em cada caso, no foram representadas_`]

<F->
1 caso: O pertence a um dos lados do ngulo inscrito :?{a{v{b*.
2 caso: O  um ponto interno ao ngulo inscrito :?{a{v{b*.
3 caso: O  um ponto externo ao ngulo inscrito :?{a{v{b*.
<F+>
<R->
<331>
<p>
  E nos trs casos, vamos chamar de: 
<R+>
 *a* a medida do ngulo inscrito :?{a{v{b*;
 *b* a medida do ngulo central correspondente :?{a{o{b*, a qual tambm  medida do arco ^:?{a{b*. 
 1 caso: O pertence a um dos lados do ngulo inscrito :?{a{v{b*.
<R->

_`[{figura no representada_`]

  O tringulo {o{v{a  issceles, pois ^c?{o{a* e ^c?{o{v* so raios da circunferncia. 
  Pela propriedade do tringulo issceles, temos :V==:A. Ento, :V=:A=a. 
  O ngulo :?{a{o{b*=b  ngulo externo do tringulo {o{v{a. Por isso, o ngulo *b*  igual  soma 
<p>
dos ngulos internos no adjacentes a ele: 
 b=:V+:A :> b=a+a :> b=2a 
  Ou seja: 
 a=b~2
  Como b=^:?{a{b*, podemos escrever tambm: 
 a=^:?{a{b*~2
<R+>
 2 caso: O  ponto interno do ngulo inscrito :?{a{v{b*.
<R->

_`[{figura no representada_`]

  Traamos a semirreta :,?{v{o*, que determina um ponto C na circunferncia. 
  O ngulo :?{a{v{b* fica dividido em dois ngulos: 
 -- :?{a{v{c* de medida a1
 -- :?{b{v{c* de medida a2
  O arco ^:?{a{b* fica tambm dividido em dois arcos: ^:?{a{c* e ^:?{c{b*. 
  De acordo com o primeiro caso, temos: 
 a1=^:?{a{c*~2 e a2=
  =^:?{c{b*~2
<p>
  Como a1+a2=a, vem: 
 a=a1+a2 :> a=^:?{a{c*~2+
  +^:?{c{b*~2 :> a=?^:?{a{c*+
  +^:?{c{b**~2 :> a=^:?{a{b*~2
<332>
  Sendo ^:?{a{b*=b, temos tambm: 
 a=b~2
<R+>
 3 caso: O  ponto externo ao ngulo inscrito :?{b{v{c. 
<R->

_`[{figura no representada_`]

  Traamos a semirreta :,?{v{o*, que determina um ponto C na circunferncia. 
  Ficam caracterizados dois outros ngulos: 
 -- :?{a{v{c*, de medida a1 
 -- :?{b{v{c*, de medida a2 
  De acordo com o primeiro caso, temos: 
 a1=^:?{a{c*~2 e a2=
  =^:?{c{b*~2
  Como a=a2-a1, vem: 
 a=a2-a1 :> a=^:?{c{b*~2-
  -^:?{c{a*~2 :> a=?^:?{c{b*-
  -^:?{c{a**~2 :> 
  a=^:?{a{b*~2. 
<p>
  Sendo ^:?{a{b*=b, temos tambm: 
a=b~2
  Para os trs casos apresentados, podemos concluir: 

  Um ngulo inscrito  metade do ngulo central correspondente, ou a medida de um ngulo inscrito  metade da medida do arco correspondente. 

Exerccios 

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 73 a 81, pea orientao ao professor_`]

73. Observe as figuras _`[no representadas_`] e determine: 
a) o ngulo *x*;
b) os ngulos *x* e *y*;
c) o arco ^:?{a{b*.

74. Observe as figuras _`[no representada_`] e determine:
a) os arcos ^:?{a{b* e ^:?{b{c*;
b) os ngulos *x* e *y*;  
c) o ngulo *x* e o arco ^:?{c{d*.
<333>
<p>
75. Observe a figura _`[no representada_`] e determine: 
a) os ngulos *x* e *y*
b) os arcos ^:?{a{b*, ^:?{b{c* e ^:?{c{d*  

76. Determine *x*. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]

d) _`[{figura no representada_`]

e) _`[{figura no representada_`]

77. Determine o arco ^:?{a{b* e o ngulo *x* em cada figura. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]
<p>
c) _`[{figura no representada_`]

d) _`[{figura no representada_`]

e) _`[{figura no representada_`]

78. Determine o que se pede em cada item. 
a) *x* e *y* 

_`[{figura no representada_`]

b) *x*, ^:?{a{d* e ^:?{c{d* 
 
_`[{figura no representada_`]

79. Determine as medidas dos ngulos de um tringulo cujos vrtices so os pontos de tangncia do crculo inscrito com os lados de um tringulo {a{b{c, sendo :A=60, :B=40 e :C=80. 
80. Na figura _`[no representada_`], a semicircunferncia tem centro O e dimetro ^c?{a{b*. 
<p>
  Temos ^c?{a{d*_l^c?{o{c* e ^:?{d{c*=50. Determine :?{c{o{b*. 
81. Sejam *r* e R os raios das circunferncias inscrita e circunscrita em um tringulo retngulo de catetos *a* e *b*. Prove que a+b=2`(R+r`). 
<R->
<F+>

<334>
ngulo inscrito numa 
  semicircunferncia 

  Um ngulo inscrito :?{a{v{b*, tal que ^c?{a{b*  um dimetro,  chamado ngulo inscrito numa semicircunferncia. 

Propriedade 

  Observe a figura _`[no representada_`].
  :?{a{v{b*  um ngulo inscrito numa semicircunferncia. 
  Temos: 
 ^:?{a{b*=180 :> :?{a{v{b*=
  =^:?{a{b*~2=180~2=90
<p>
  Todo ngulo inscrito numa semicircunferncia  reto. 

  Por outro lado, dado um ngulo reto :?a{vb*, podemos tomar A em Va e B em Vb e obter o ponto mdio de ^c?{a{b*. 
  No tringulo retngulo {a{v{b _`[no representado_`], a mediana ^c?{a{m*  igual  metade da hipotenusa ^c?{a{b*. Ento: 
 ^c?{m{a*==^c?{m{v*==^c?{m{b*
  E da, com centro em M, pode-se construir uma circunferncia passando por A, V e B. O ngulo :?{a{v{b* fica inscrito numa semicircunferncia _`[no representada_`].
 
  Todo ngulo reto  inscritvel numa semicircunferncia. 
<335>
<p>
<R+>
_`[{para a construo 14, pea orientao ao professor_`]
<R->

Construo 14
 
Retas tangentes  circunferncia 

  Vamos construir retas tangentes a uma circunferncia, utilizando rgua e compasso. 
<R+>
<F->
1- Traamos uma circunferncia C (centro O e raio *r*) e um ponto P, externo a C.
2- Em seguida, traamos o segmento ^c?{p{o* e construmos o ponto M, mdio de ^c?{o{p*. 
3- Fincando a ponta-seca do compasso em M e, usando a abertura ^c?{o{m*, traamos a circunferncia D (de centro M e raio ^c?{o{m*), que cruza a circunferncia C em dois pontos, T1 e T2. 
<p>
4- As retas ~:,?{p{t1* e ~:,?{p{t2* so as tangentes procuradas, pois os ngulos :?{o{t1{p* e :?{o{t2{p* 
  so retos, uma vez que esto inscritos numa semicircunferncia. Ento, ^c?{o{t1*#'^c?{t1{p* e ^c?{o{t2*#'^c?{t2{p*. Como ^c?{o{t1* e ^c?{o{t2* so raios de C, ento ~:,?{t1{p* e ~:,?{t2{p* so tangentes a C. 
<F+>
<R->
<336>

ngulos excntricos 

ngulo excntrico interior 

  Duas cordas que se interceptam num ponto distinto do centro da circunferncia determinam quatro ngulos. Cada um deles  chamado ngulo excntrico interior relativo  circunferncia. 
  Observe a figura _`[no representada_`].
<p>
  As cordas ^c?{a{c* e ^c?{b{d* interceptam-se no ponto P. 
  Os ngulos :?{a{p{b*, :?{b{p{c*, :?{c{p{d* e :?{d{p{a* so ngulos excntricos interiores. 
  Vamos calcular o ngulo :?{a{p{b*=x, supondo que so dados os arcos ^:?{a{b* e ^:?{c{d*. 
  Ligando A com D, observamos que *x*  ngulo externo do tringulo {a{p{d. Ento: 
 x=:A+:D 
  Como :A e :D so ngulos inscritos: 
 :A=^:?{c{d*~2 e :D=
  =^:?{a{b*~2 
  Ento: 
 x=^:?{a{d*~2+^:?{a{b*~2
  Ou seja: 
 x=?^:?{a{b*+^:?{c{d**~2 

ngulo excntrico exterior 

  Duas secantes a uma circunferncia, conduzidas por um ponto 
<p>
externo, determinam um ngulo chamado ngulo excntrico exterior relativo  circunferncia. 
  Observe a figura _`[no representada_`].
<337> 
  As secantes ^c?{p{a* e ^c?{p{b* determinam o ngulo excntrico exterior :?{a{p{b*. 
  Vamos calcular {a{p{b=x, supondo que so dados os arcos ^:?{a{b* e ^:?{c{d*.
  Ligando A com D, obtemos o tringulo {a{p{d _`[no representado_`]. O ngulo *y*  externo ao tringulo {a{p{d, ento: 
 y=x+:A, ou seja, x=y-:A 
  Como *y* e :A so ngulos inscritos, vem: 
 y=^:?{a{b*~2 e :A=^:?{c{d*~2 
  Ento: 
 x=y-:A=^:?{a{b*~2-^:?{c{d*~2
  Ou seja:
 x=?^:?{a{b*-^:?{c{d**~2 
<p>
Exerccios 

<R+>
_`[{para os exerccios 82 a 97, pea orientao ao professor_`]

  Nos exerccios 82 a 85, use rgua e compasso e desenhe no seu caderno. 

<F->
82. Desenhe uma circunferncia C de raio 3,5 cm e tome sobre ela um ponto P. Construa a reta que passa por P e  tangente a C. 
83. Desenhe uma circunferncia C de raio 4,5 cm e tome um ponto P  distncia de 6 cm do centro de C. Construa as retas que passam por P e so tangentes a C. 
84. Desenhe uma circunferncia C de raio 3 cm e tome um ponto P  distncia de 5 cm do centro de C. Em seguida, construa as retas que passam por P e tangenciam a circunferncia. 
<p>
85. Desenhe uma circunferncia de raio 4 cm e construa a reta tangente a essa circunferncia, passando por um de seus pontos, P. 
86. Na figura _`[no representada_`], em que ^:?{a{b{c*=260, calcule o valor de *x*.  
87. Na figura _`[no representada_`], o ngulo :?{a{c{d*  igual a 70 e o ngulo :?{a{p{d*  igual a 110. Determine a medida do ngulo :?{b{a{c*.
<338>
88. Na figura _`[no representada_`], o arco ^:?{c{m{d*  igual a 100 e o arco ^:?{a{n{b* mede 30. Calcule o valor de *x*.

89. Calcule *x* nas figuras. 

a) _`[{figura no representada_`]

b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]
<p>
d) _`[{figura no representada_`]

e) _`[{figura no representada_`]

90. Determine *x* e *y*.

_`[{figura no representada_`]

91. Na circunferncia _`[no representada_`], o arco ^:?{c{f{d* excede o arco ^:?{a{e{b* em 50. Determine suas medidas, sabendo que o ngulo *x* mede 70.  
<339>
92. Na figura _`[no representada_`], ^c?{a{b* e ^c?{a{c* so tangentes ao crculo de centro O, e Q  um ponto do arco menor ^:?{b{c*. {p{q{r  tangente ao crculo e :A=28. Ache :?{p{o{r*. 
93. Consideremos um tringulo equiltero {a{b{c inscrito em um 
  crculo. Determine o menor ngulo formado pelas retas tangentes a esse crculo nos pontos A e B. 
<p>
94. Determine o menor ngulo formado por duas retas secantes a uma circunferncia, conduzidas por um ponto P externo, sabendo que essas secantes determinam na circunferncia dois arcos cujas medidas so 30 e 90. 
95. Determine os ngulos do tringulo {a{b{c _`[no representado_`], sabendo que ^:?{a{b*=
  =90 e ^:?{b{c*=130.
96. Por um ponto P externo a uma circunferncia traamos as tangentes ^c?{p{a* e ^c?{p{b* 
  com A e B na circunferncia. Um dos arcos, ^:?{a{b*,  o qudruplo do outro. Calcule a medida do ngulo :?{a{p{b*. 
<p>
97. Mostre que se ^:?{a{b* e ^:?{c{d* so arcos de medidas iguais de uma circunferncia, 
  ento as cordas ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so congruentes. 

_`[{um professor pergunta: "Quem j ouviu falar em quadriltero inscritvel?"_`]
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<340>
Captulo 29- Quadrilteros 
  inscritveis

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

Quadriltero inscrito em 
  circunferncia 

  Se os quatro vrtices de um quadriltero convexo pertencem a uma circunferncia, dizemos que o quadriltero est inscrito na circunferncia e tambm dizemos que a circunferncia est circunscrita ao quadriltero. 
  Observe na figura _`[no representada_`] que: 
<R+>
 o quadriltero {f{i{g{a est inscrito na circunferncia; 
 a circunferncia est circunscrita ao quadriltero. 
<R->
<p>
Propriedade 

  Vamos considerar um quadriltero {a{b{c{d inscrito numa circunferncia. 
  Usando a propriedade do ngulo inscrito, temos:  
 :A=^:?{b{c{d*~2, :B=
  =^:?{c{d{a*~2, :C=
  =^:?{d{a{b*~2 e :D=
  =^:?{a{b{c*~2
  Agora, vamos obter a soma de dois ngulos opostos: :A+:C e :B+:D. 
 :A+:C=^:?{b{c{d*~2+
  +^:?{d{a{b*~2=?^:?{b{c{d*+
  +^:?{d{a{b**~2=360~2=180
 :B+:D=^:?{c{d{a*~2+
  +^:?{a{b{c*~2=?^:?{c{d{a*+
  +^:?{a{b{c**~2=360~2=180
  Conclumos que: 
 :A+:C=180 e :B+:D=180
  Logo, :A e :C so suplementares, e :B e :D tambm so suplementares. 
  Assim, podemos enunciar: 
<p>
  Se um quadriltero est inscrito numa circunferncia, os seus ngulos opostos so suplementares. 

  A recproca dessa propriedade  verdadeira. 

  Se os ngulos opostos de um quadriltero convexo so suplementares, o quadriltero  inscritvel. 

  Inscritvel significa que pode ser inscrito em uma circunferncia. 
<341>

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 98 e 99, pea orientao ao professor_`]

<F->
98. Determine *x*.

a) _`[{figura no representada_`]
  
b) _`[{figura no representada_`]

c) _`[{figura no representada_`]
<p>
99. Determine os ngulos *x* e *y*. 

a) _`[{figura no representada_`]
  
b) _`[{figura no representada_`]

100. Um quadriltero {a{b{c{d  inscritvel. Determine *x* em cada item. 
a) :A=2x-30 e :C=x+45
b) :A=3x-7 e :C=x+15 

101. Um quadriltero {a{b{c{d em que :A=120, :B=40, :C=90 e :D=110  inscritvel? Por qu? 

102. Responda: certo ou errado? 
a) Todo paralelogramo  inscritvel. 
b) Todo retngulo  inscritvel. 
c) Todo losango  inscritvel. 
d) Todo quadrado  inscritvel. 
<p>
e) Todo quadriltero  inscritvel. 
f) Todo paralelogramo inscritvel  retngulo. 

103. Quais os paralelogramos que sempre so inscritveis? 
104. Todo trapzio issceles  inscritvel? Por qu? 
105. O arco ^:?{c{d* da figura _`[no representada_`] mede 105. Calcule o valor de *x*.  
106. Um quadriltero {a{b{c{d est inscrito numa circunferncia. Sendo ^:?{a{b*=80, ^:?{b{c*=110, ^:?{c{d*=90, ache os ngulos do quadriltero.  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<342>
Captulo 30- Arco capaz

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como os exerccios propostos so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]
<R->

O que  arco capaz? 

  Observe a figura _`[no representada_`].
  O ngulo central :?{a{o{b*  igual a 2^a. Dessa forma, qualquer dos ngulos inscritos no arco ^:?{a{x{b* mede ^a, pois tem como ngulo central correspondente :?{a{o{b*=2^a.
  Nesse caso, o arco ^:?{a{x{b*  chamado arco capaz do segmento ^c?{a{b* referente ao ngulo ^a. 
  Observe a construo do arco capaz a seguir. 
<p>
<R+>
_`[{para a construo 15, pea orientao ao professor_`]
<R->

Construo 15

Arco capaz 

  So dados um segmento ^c?{a{b* e um ngulo ^a tal que 0<^a<180. Realize esta atividade seguindo as etapas seguintes. Use rgua e compasso. 
<R+>
<F->
1- Traamos o segmento ^c?{a{b*. 
2- Traamos por A uma reta *t* tal que :?t{a{b*=^a.
3- Traamos por A a reta *s* tal que s#'t. 
<343>
4- Traamos a reta *m* mediatriz de ^c?{a{b*. Chamamos de O a interseo de *s* com *m*. 
5- Fincamos a ponta-seca do compasso em O e, com abertura {o{a={o{b, traamos a circunfe-
  rncia C. Marcando um ponto X na circunferncia, o arco ^:?{a{x{b*  o arco capaz do ngulo ^a. 
<p>
Exerccios 

_`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

107. Sabendo que :?{a{o{b*=
  =120, calcule *x*, *y*, *z* e *t*. 

_`[{figura no representada_`]
  
  Nos exerccios 108 a 111, use rgua e compasso e desenhe no seu caderno. 

108. Desenhe um segmento ^c?{b{c* com 5 cm de comprimento e um ngulo de 60. Em seguida, construa o arco capaz de ^c?{b{c*, referente ao ngulo de 60. 
109. Construa um tringulo {a{b{c de modo que a medida de ^c?{b{c* seja 5 cm, a mediana ^c?{a{m1* mea 3 cm e :A=60. Sugesto: Use o resultado do exerccio anterior. 
<p>
110. Desenhe um segmento ^c?{a{b* com medida 6 cm e um ngulo de 45. Em seguida, construa o arco capaz de ^c?{a{b*, referente ao ngulo de 45. 
111. Construa um tringulo {a{b{c de modo que ^c?{b{c* mea 6 cm, a altura ^c?{a{h1* mea 3 cm e :A=45. Sugesto: Use o resultado do exerccio anterior. 
<R->
<F+>
<344>

Matemtica em notcia

  Conhea alguns detalhes interessantes sobre o Planeta Vermelho. 

<R+>
Por que a vida seria difcil em Marte 
<R->

Temperaturas extremas: 

  Entre o dia e a noite, a temperatura pode variar 100 graus. 
<p>
  A oscilao tambm  muito grande mesmo nas menores altitudes. 
  A temperatura cai 27 graus a apenas 1,60 metro do solo. 

Atmosfera txica 

  Mais fina que a da Terra,  formada por 95% de dixido de carbono, 2,7% de nitrognio e apenas 0,7% de oxignio. A atmosfera terrestre tem 78% de nitrognio, 21% de oxignio e 0,03% de dixido de carbono. 

Clima terrvel
 
  Tempestades de vento de at 480 quilmetros por hora varrem o 
planeta, provocando redemoinhos gigantes em certas pocas do ano. 

(*Veja*, 10/3/2004.) 
<p>
<R+>
<F->
_`[{grfico adaptado, contedo a seguir_`]
Durante o dia: 0 metro =+18C; 1,60 metro =-9C.
Durante a noite: 0 metro =-76C; 1,60 metro =-90C.
<F+>
<R->

Perfil do planeta

<R+>
<F->
 Distncia do Sol: Marte  o quarto planeta a contar do Sol, a 228 milhes de km da estrela; a Terra, a quase 150 milhes de km.
 Temperaturas: A temperatura mnima na superfcie marciana chega a 87C negativos; a mxima, -5C. Na terra, a mnima e a mxima so de -88C e 58C.
 rbita e rotao: O ano marciano, perodo necessrio para que o planeta d uma volta completa em torno do Sol,  88% mais longo que o ano terrestre, 
<p>
  de 687 dias terrestres; a durao do dia marciano  3% maior que o tempo de rotao terrestre.
 Massa: A massa do planeta Marte corresponde a 11% da massa do planeta Terra.
 Satlites: Marte tem dois satlites, Fobos e Deimos, ambos descobertos em agosto de 1877 pelo astrnomo Asaph Hall.
 Atmosfera: Os principais elementos da atmosfera de Marte so dixido de carbono, nitrognio e argnio. No caso da Terra, so nitrognio e oxignio.
<F+>

(*O Estado de S. Paulo*, 17/7/2008.) 
<R->

  Leia com ateno as informaes e responda: 
<R+>
<F->
a) Durante o dia a temperatura junto ao solo  de 18C e  noite  de -76C. Quantos graus a temperatura varia nesse perodo? 
<p>
b) Marte tem dois satlites. E a Terra, tem algum satlite?  
c) Representando em grficos de setores a atmosfera da Terra e a de Marte, quantos graus tem o setor do oxignio em cada um?  
d) Se o "ano marciano" tem 687 dias terrestres, e o "dia marciano"  3% maior que o dia terrestre, quantos "dias marcianos" tem o "ano marciano"? 
<F+>
<R->
<345>

Desafio 

Palitmtica II 

  A figura  formada com 7 palitos de fsforo. 

<F->
 ::::
_    _
_    _
 ::::
_    _
_    _
 ::::
<F+>
<p>
  Retire um deles e deixe formado um quadrado perfeito, sem mexer nos demais! 

<R+>
<F->
Teste seu conhecimento

_`[{para os exerccios 1 a 12, pea orientao ao professor_`]

1. As bases de um trapzio issceles circunscrito a uma circunferncia medem 9 m e 6 m. Cada um dos outros dois lados do trapzio mede: 
a) 4,5 m 
b) 6 m 
c) 7,5 m 
d) 8 m 
e) n. r. a. 

2. (UF-CE) Duas tangentes so traadas a um crculo de um ponto exterior A e tocam o crculo nos pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tan-
  gente intercepta o segmento {a{b em P e {a{c em R e toca o cr-
<p>
  culo em Q. Se {a{b=20 cm, ento o permetro do tringulo {a{p{r, em cm,  igual a: 
a) 39,5 
b) 40 
c) 40,5 
d) 41
e) 41,5  

_`[{figura no representada_`]

3. (Cesgranrio-RJ) Um quadriltero convexo est inscrito em um crculo. A soma dos ngulos ^a e b mostrados na figura _`[no representada_`] : 
a) 45 
b) 90 
c) 180 
d) 270 
e) 360 

4. (Cesgranrio-RJ) As semirretas :,?{p{m* e :,?{p{n* so tangentes ao crculo da figura _`[no representada_`] e o compri-
  mento do arco ^:?{m{g{n*  4 
<p>
  vezes o do arco ^:?{m{f{n*. O ngulo :?{m{p{n* vale: 
a) 76 
b) 80 
c) 90 
d) 108 
e) 120 

5. (PUC-SP) Na figura 
  _`[no representada_`], ^c?{a{b*  dimetro da circunferncia. O menor dos arcos `(^:?{a{c*`) mede: 
a) 100 
b) 120 
c) 140 
d) 150
e) 160 

6. (UF-GO) Se a corda ^c?{a{b* da figura _`[no representada_`]  um lado de um tringulo equiltero inscrito na cir-
  cunferncia de centro em C, a medida do ngulo ^a : 
a) 120 
b) 270 
<p>
c) 135 
d) 60 
e) 30 
<346>

7. (PUC-SP) O pentgono {a{b{c{d{e _`[no representado_`] est inscrito em um crculo de centro O. O ngulo central :?{c{o{d* mede 60. Ento x+y  igual a: 
a) 180  
b) 185  
c) 190
d) 210
e) 250  

8. (PUC-SP) O ngulo *x*, na figura _`[no representada_`], mede: 
a) 60 
b) 80 
c) 90 
d) 100 
e) 120 
<p>
9. (Cesgranrio-RJ) Em um crculo de centro O _`[no representado_`], est inscrito o ngulo ^a. Se o arco ^:?{a{m{b* mede 130, o ngulo ^a mede: 
a) 25 
b) 30  
c) 40 
d) 45 
e) 50

10. (UF-PE) Considere a figura _`[no representada_`]. Assinale a alternativa correta: 
a) A medida do ngulo ^d  igual  metade da soma das medidas dos arcos ^:?{a{b* e ^:?{a{c*. 
b) A medida do ngulo ^d  igual ao dobro da medida do arco ^:?{c{b*. 
c) A medida do ngulo ^d  igual  soma das medidas dos arcos ^:?{a{b* e ^:?{a{c*. 
<p>
d) A medida do ngulo ^d  igual  medida do arco ^:?{c{b*.
e) A medida do ngulo ^d e a do arco ^:?{a{c* so iguais. 

11. (Cesgranrio-RJ) Se, na figura _`[no representada_`], ^:?{a{b*=20, ^:?{b{c*=124, ^:?{c{d*=36 e ^:?{d{e*=90, ento o ngulo *x* mede: 
a) 34 
b) 35 30 
c) 37 
d) 38 30 
e) 40 

12. (Cesgranrio-RJ) Em um crculo de raio 5 est inscrito um quadriltero {a{b{c{d. Sobre 
<p>
  a soma dos ngulos opostos :?{b{a{d* e :?{b{c{d*, podemos afirmar que vale: 
a) 5180  
b) 3180
c) 2180 
d) 180 
e) 90 
<R->
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Stima Parte

